Programme pour le cycle 4







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Résoudre des problèmes de proportionnalité

Reconnaitre une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité.

Etudier des relations entre deux grandeurs mesurables pour identifier si elles sont proportionnelles ou non ; ces relations peuvent être exprimées par :

- des formules (par exemple la longueur d’un cercle ou l’aire d’un disque comme fonction du rayon, la loi d’Ohm exprimant la tension comme fonction de l’intensité) ;

- des représentations graphiques (par exemple des nuages de points ou des courbes) ;

- un tableau (dont des lignes ou des colonnes peuvent être proportionnelles ou non).

Résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle.

Résoudre des problèmes de pourcentage.

  • Coefficient de proportionnalité.

Compléter un tableau de proportionnalité en utilisant, par exemple, le produit en croix.

Calculer et interpréter des proportions (notamment sous forme de pourcentages) sur des données économiques ou sociales ; appliquer des pourcentages (par exemple taux de croissance, remise, solde, taux d’intérêt) à de telles données.

Etablir le fait que, par exemple, augmenter de 5% c’est multiplier par 1,05 et diminuer de 5% c’est multiplier par 0,95 ; proposer quelques applications (par exemple que l’on n’additionne pas les remises).

Comprendre et utiliser la notion de fonction

Modéliser des phénomènes continus par une fonction.

Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions (équations, inéquations).

  • Dépendance d’une grandeur mesurable en fonction d’une autre.

  • Notion de variable mathématique.

  • Notion de fonction, d'antécédent et d'image.

  • Notations f(x) et x f(x).

  • Cas particulier d’une fonction linéaire, d’une fonction affine.

Utiliser différents modes de représentation et passer de l’un à l’autre, par exemple en utilisant un tableur ou un grapheur.

Lire et interpréter graphiquement les coefficients d’une fonction affine représentée par une droite.

Etudier et commenter des exemples (fonction reliant la tension et l’intensité dans un circuit électrique, fonction reliant puissance et énergie, courbes de croissance dans un carnet de santé, tests d’effort, consommation de carburant d’un véhicule en fonction de la vitesse, production de céréales en fonction des surfaces ensemencées, liens entre unités anglo-saxonnes et françaises, impôts et fonctions affines par morceaux…).

Faire le lien entre fonction linéaire et proportionnalité.

Repères de progressivité :
Les caractéristiques de position d'une série statistique sont introduites dès le début du cycle. Les élèves rencontrent des caractéristiques de dispersion à partir de la 4ème.

Les activités autour de la proportionnalité prolongent celles du cycle 3. Au fur et à mesure de l'avancement du cycle, les élèves diversifient les points de vue en utilisant les représentations graphiques et le calcul littéral. En 3ème, les élèves sont en mesure de faire le lien entre proportionnalité, fonctions linéaires, théorème de Thalès et homothéties et peuvent choisir le mode de représentation le mieux adapté à la résolution d'un problème.

En 5ème, la rencontre de relations de dépendance entre grandeurs mesurables, ainsi que leurs représentations graphiques, permet d'introduire la notion de fonction qui est stabilisée en 3ème, avec le vocabulaire et les notations correspondantes.

Dès le début et tout au long du cycle 4 sont abordées des questions relatives au hasard, afin d'interroger les représentations initiales des élèves, en partant de situations issues de la vie quotidienne (jeux, achats, structures familiales, informations apportées par les médias, etc.), en suscitant des débats. On introduit et consolide ainsi petit à petit le vocabulaire lié aux notions élémentaires de probabilités (expérience aléatoire, issue, probabilité). Les élèves calculent des probabilités en s’appuyant sur des conditions de symétrie ou de régularité qui fondent le modèle équiprobable. Une fois ce vocabulaire consolidé, le lien avec les statistiques est mis en œuvre en simulant une expérience aléatoire, par exemple sur un tableur. A partir de la 4ème, l’interprétation fréquentiste permet d’approcher une probabilité inconnue et de dépasser ainsi le modèle d’équiprobabilité mis en œuvre en 5ème.



Thème C – Grandeurs et mesures
En continuité avec le travail engagé au cycle 3, ce thème se prête particulièrement à des connexions avec les autres thèmes du programme et offre de nombreux liens avec la physique-chimie ou les sciences de la vie et de la Terre. C’est aussi l’occasion d’activités de recherche (par exemple pour déterminer la formule donnant le volume de certains solides).

Les élèves doivent disposer de références concrètes (savoir, par exemple, que la circonférence de la Terre est environ 40000 km) et être capables d’estimer l'ordre de grandeur d'une mesure. Par ailleurs, le travail autour des formules s'inscrit parfaitement dans l'introduction du calcul littéral.

Attendu de fin de cycle

  • Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

  • Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Connaissances et compétences associées

Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève

Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, en conservant les unités.

Vérifier la cohérence des résultats du point de vue des unités.

  • Notion de grandeur produit et de grandeur quotient.

  • Formule donnant le volume d’une pyramide, d’un cylindre, d’un cône ou d’une boule.

Identifier des grandeurs composées rencontrées en mathématiques ou dans d’autres disciplines (par exemple aire, volume, vitesse, allure, débit, masse volumique, concentration, quantité d’information, densité de population, rendement d’un terrain).

Commenter des documents authentiques (par exemple factures d’eau ou d’électricité, bilan sanguin).

Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Comprendre l’effet d’un déplacement, d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les aires, les volumes ou les angles.

  • Notion de dimension et rapport avec les unités de mesure (m, m2, m3).

Utiliser un rapport de réduction ou d'agrandissement (architecture, maquettes), l’échelle d’une carte.

Utiliser un système d’information géographique (cadastre, géoportail, etc.) pour déterminer une mesure de longueur ou d’aire ; comparer à une mesure faite directement à l’écran.

Repères de progressivité :

Le travail sur les grandeurs mesurables et les unités de mesure, déjà entamé au cycle 3, est poursuivi tout au long du cycle 4, en prenant appui sur des contextes issus d’autres disciplines ou de la vie quotidienne. Les grandeurs produits et les grandeurs quotients sont introduites dès la 4ème. L'effet d'un déplacement, d’un agrandissement ou d'une réduction sur les grandeurs géométriques est travaillé en 3ème, en lien avec la proportionnalité, les fonctions linéaires et le théorème de Thalès.


Thème D - Espace et géométrie
Au cycle 3, les élèves ont découvert différents objets géométriques, qui continuent à être rencontrés au cycle 4. Ils valident désormais par le raisonnement et la démonstration les propriétés qu'ils conjecturent. Les définitions et propriétés déjà vues au cycle 3 ainsi que les nouvelles propriétés introduites au cycle 4 (relations entre angles et parallélisme, somme des angles d’un triangle, inégalité triangulaire, caractérisation de la médiatrice, théorèmes de Thalès et de Pythagore) fournissent un éventail d'outils nourrissant la mise en œuvre d'un raisonnement. Les transformations font l'objet d'une première approche, consistant à observer leur effet sur des configurations planes, notamment au moyen d'un logiciel de géométrie.


Attendus de fin de cycle

  • Représenter l’espace

  • Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer

Connaissances et compétences associées

Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève

Représenter l’espace

(Se) repérer sur une droite graduée, dans le plan muni d'un repère orthogonal, dans un parallélépipède rectangle ou sur une sphère.

  • Abscisse, ordonnée, altitude.

  • Latitude, longitude.


Utiliser, produire et mettre en relation des représentations de solides et de situations spatiales.

Développer sa vision de l’espace.

Repérer une position sur carte à partir de ses coordonnées géographiques.

Mettre en relation diverses représentations de solides (par exemple, vue en perspective, vue de face, vue de dessus, vue en coupe) ou de situations spatiales (par exemple schémas, croquis, maquettes, patrons, figures géométriques).

Utiliser des solides concrets (en carton par exemple) pour illustrer certaines propriétés.

Utiliser un logiciel de géométrie pour visualiser des solides et leurs sections planes afin de développer la vision dans l’espace. Faire le lien avec les courbes de niveau sur une carte.

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer

Mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d’une figure géométrique.

Coder une figure.

Comprendre l’effet d’une translation, d’une symétrie (axiale et centrale), d’une rotation, d’une homothétie sur une figure.


Construire des frises, des pavages, des rosaces.

Utiliser un logiciel de géométrie dynamique, notamment pour transformer une figure par translation, symétrie, rotation, homothétie.

Faire le lien entre parallélisme et translation, cercle et rotation.

Résoudre des problèmes de géométrie plane, prouver un résultat général, valider ou réfuter une conjecture.

  • Position relative de deux droites dans le plan.

  • Caractérisation angulaire du parallélisme, angles alternes / internes.

  • Médiatrice d'un segment.

  • Triangle : somme des angles, inégalité triangulaire, cas d’égalité des triangles, triangles semblables, hauteurs, rapports trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente).

  • Parallélogramme : propriétés relatives aux côtés et aux diagonales.

  • Théorème de Thalès et réciproque.

  • Théorème de Pythagore et réciproque.

Distinguer un résultat de portée générale d’un cas particulier observé sur une figure.

Faire le lien entre théorème de Thalès, homothétie et proportionnalité.

Utiliser la trigonométrie du triangle rectangle pour calculer des longueurs ou des angles.

Démontrer, par exemple, que des droites sont parallèles ou perpendiculaires, qu’un point est le milieu d’un segment, qu’une droite est la médiatrice d’un segment, qu’un quadrilatère est un parallélogramme, un rectangle, un losange ou un carré.

Etudier comment les notions de la géométrie plane ont permis de déterminer des distances astronomiques (estimation du rayon de la Terre par Eratosthène, distance de la Terre à la Lune par Lalande et La Caille, etc.).

Repères de progressivité :

Les problèmes de construction constituent un champ privilégié de l'activité géométrique tout au long du cycle 4. Ces problèmes, diversifiés dans leur nature et la connexion qu'ils entretiennent avec différents champs mathématiques, scientifiques, technologiques ou artistiques, sont abordés avec les instruments de tracé et de mesure. Dans la continuité du cycle 3, les élèves se familiarisent avec les fonctionnalités d'un logiciel de géométrie dynamique ou de programmation pour construire des figures.

La pratique des figures usuelles et de leurs propriétés, entamée au cycle 3, est poursuivie et enrichie dès le début et tout au long du cycle 4, permettant aux élèves de s'entraîner au raisonnement et de s'initier petit à petit à la démonstration.

Le théorème de Pythagore est introduit dès la 4ème, et est réinvesti tout au long du cycle dans des situations variées du plan et de l'espace. Le théorème de Thalès est introduit en 3ème, en liaison étroite avec la proportionnalité et l’homothétie, mais aussi les agrandissements et réductions.

La symétrie axiale a été introduite au cycle 3. La symétrie centrale est travaillée dès le début du cycle 4, en liaison avec le parallélogramme. Les translations, puis les rotations sont introduites en milieu de cycle, en liaison avec l’analyse ou la construction des frises, pavages et rosaces, mais sans définition formalisée en tant qu’applications ponctuelles. Une fois ces notions consolidées, les homothéties sont amenées en 3ème, en lien avec les configurations de Thalès, la proportionnalité, les fonctions linéaires, les rapports d’agrandissement ou de réduction des grandeurs géométriques.


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